НОД и НОК
Для 2–5 целых чисел — с решением по шагам.
Для чисел 12 и 18
НОД
6
Наибольший общий делитель
НОК
36
Наименьшее общее кратное
Решение
Разложение на множители
12 = 22 · 3
18 = 2 · 32
Находим НОД (алгоритм Евклида)
18 = 12 · 1 + 6
12 = 6 · 2 + 0
Последний ненулевой остаток — 6.
Находим НОК
12 · 18 ÷ 6 = 36
Как пользоваться
- Шаг 1. Выберите количество чисел: от двух до пяти.
- Шаг 2. Введите числа в подписанные поля.
- Шаг 3. Нажмите «Вычислить» или Enter. Получите НОД, НОК и решение; кнопка «Копировать ответ» сохранит весь расчёт.
Допустимы ненулевые целые числа до 15 цифр. Для отрицательных чисел используются их модули.
Что такое НОД и НОК
НОД — наибольший общий делитель
Самое большое число, на которое делятся все данные числа без остатка. Для 12 и 18 это 6: оба числа делятся на 1, 2, 3 и 6, а 6 — наибольшее. НОД помогает сокращать дроби: 12/18 = 2/3.
НОК — наименьшее общее кратное
Самое маленькое положительное число, которое делится на каждое из данных. Для 12 и 18 это 36. НОК помогает найти общий знаменатель при сложении дробей.
Как найти НОД и НОК
Найти НОК через кратные
Выпишите положительные кратные каждого числа. Первое общее число — НОК. Для отрицательных чисел используйте их модули.
- Кратные 12: 12, 24, 36, 48…
- Кратные 18: 18, 36, 54…
НОК(12, 18) = 36.
Найти НОД и НОК по множителям
Разложите модули чисел на простые множители:
- 12 = 22 · 3
- 18 = 2 · 32
Для НОД возьмите общие простые множители с наименьшими показателями степеней. Для НОК — все встречающиеся простые множители с наибольшими показателями.
- НОД(12, 18) = 2 · 3 = 6
- НОК(12, 18) = 22 · 32 = 36
Чем НОД отличается от НОК
НОД ищут среди делителей, и он не больше меньшего из модулей чисел. НОК ищут среди кратных, и он не меньше большего. Для двух положительных чисел действует формула: НОД(a, b) · НОК(a, b) = a · b.
Взаимно простые числа
У двух взаимно простых чисел НОД равен 1, а НОК равен модулю их произведения: например, у 8 и 15 НОК равен 120. Для трёх и более чисел это верно при попарной взаимной простоте. Общий НОД, равный 1, сам по себе этого не гарантирует.
Частые вопросы
Что такое НОД и как его найти?
НОД — наибольший общий делитель: самое большое положительное число, на которое делятся все заданные числа. Калькулятор берёт модули чисел и применяет алгоритм Евклида: большее число делится на меньшее, затем меньшее — на остаток, и так до нулевого остатка. Последний делитель и есть НОД.
Что такое НОК чисел?
НОК — наименьшее общее кратное: самое маленькое положительное число, которое делится на каждое из заданных. Для двух ненулевых целых чисел действует формула НОК(a, b) = |a · b| / НОД(a, b). Модуль произведения сохраняет положительный результат: у −12 и 18 НОД равен 6, а НОК — 36.
Чем НОД отличается от НОК?
НОД ищут среди положительных делителей — он не больше меньшего из модулей чисел. НОК ищут среди положительных кратных — он не меньше большего из модулей. Для 12 и 18 общие делители — 1, 2, 3, 6 (НОД 6), общие кратные — 36, 72… (НОК 36).
Как найти НОД по алгоритму Евклида?
Сначала возьмите модули чисел. Делите большее на меньшее с остатком, затем меньшее на остаток и повторяйте до нулевого остатка. Например, НОД(48, 36): 48 = 36 · 1 + 12; 36 = 12 · 3 + 0 — последний делитель 12 и есть НОД. Способ быстрее перебора делителей.
Что делать, если числа взаимно простые?
Если НОД двух чисел равен 1, общих положительных делителей кроме единицы нет — например, у 8 и 15. Их НОК равен модулю произведения, а дробь с такими числителем и знаменателем сократить нельзя. Для трёх и более чисел НОК равен модулю произведения всех чисел при попарной взаимной простоте. Общий НОД, равный 1, сам по себе этого не гарантирует: у 6, 10 и 15 НОД равен 1, а НОК — 30, а не 900.