Логарифм произведения
log2(4 · 8) = log2 4 + log2 8 = 2 + 3 = 5.
Заменяем логарифм произведения суммой логарифмов. Числа 4 и 8 — степени двойки: 4 = 22, 8 = 23. Поэтому слагаемые равны 2 и 3. Проверка: 25 = 32 = 4 · 8.
Калькулятор логарифмов
Вычисляйте и разбирайтесь в формулах.
Найти логарифм
Быстрый выбор основания
Результат обновляется при вводе
Ответ
log_2(8) = 3
- ln 8
- 2,07944154
- lg 8
- 0,90308999
Решение
log2(8) = ln 8 / ln 2
2,07944154 / 0,69314718 = 3
Как пользоваться калькулятором
-
Шаг 1. Выберите операцию
Выберите логарифм, корень, степень, округление или пропорцию в списке операций.
-
Шаг 2. Введите значения
Введите данные в поля — результат считается сразу по мере ввода.
-
Шаг 3. Получите ответ
Сверьте выражение и пояснение решения. Кнопка «Копировать ответ» сохраняет исходные значения и результат.
Свойства логарифмов
Логарифм loga b показывает, в какую степень нужно возвести a, чтобы получить b. Например, log2 8 = 3, потому что 23 = 8.
| Свойство | Формула |
|---|---|
| Основное тождество | aloga b = b |
| Логарифм произведения | loga(x · y) = loga x + loga y |
| Логарифм частного | loga(x / y) = loga x − loga y |
| Логарифм степени | loga(xk) = k · loga x |
| Переход к другому основанию | loga b = logc b / logc a |
| Смена основания и аргумента | loga b = 1 / logb a |
| Единица и основание | loga 1 = 0; loga a = 1 |
Условия: a > 0, a ≠ 1; аргументы логарифмов положительны. При переходе к основанию c: c > 0, c ≠ 1. Для смены основания и аргумента также b ≠ 1.
Десятичный логарифм lg — по основанию 10, натуральный ln — по основанию e ≈ 2,71828. Пересчёт: ln x = lg x / lg e.
Примеры решения логарифмов
Логарифм частного
log3(81 / 9) = log3 81 − log3 9 = 4 − 2 = 2.
Заменяем логарифм частного разностью. Так как 81 = 34 и 9 = 32, вычитаем показатели: 4 − 2. Проверка: 81 / 9 = 9, а 32 = 9.
Переход к другому основанию
log4 8 = log2 8 / log2 4 = 3 / 2 = 1,5.
Выбираем основание 2, потому что 4 и 8 — степени двойки. Делим логарифм числа 8 на логарифм основания 4. Ответ может быть дробным: 41,5 = 8.
Частая ошибка: логарифм суммы
Правило произведения нельзя применять к сумме. Например, log2(1 + 1) = 1, а log2 1 + log2 1 = 0. Сначала вычислите сумму внутри логарифма.
Корни и степени
Корень n-й степени
Корень n-й степени из числа x — это число y, для которого yn = x. В калькуляторе n — целое число от 1 до 1000. Для корня чётной степени из неотрицательного числа выбирается неотрицательный результат.
√9 = 3, потому что 32 = 9. ∛27 = 3, потому что 33 = 27.
Корень нечётной степени может быть отрицательным: ∛(−8) = −2, поскольку (−2)3 = −8. Корень чётной степени из отрицательного числа не существует в действительных числах.
Для проверки квадратного корня используйте таблицу квадратов.
Возведение в степень
При положительном целом n степень an — это произведение n одинаковых множителей a. Например, 23 = 2 · 2 · 2 = 8. Для ненулевого основания нулевая степень равна 1, а отрицательный показатель задаёт обратное число.
50 = 1. 2−3 = 1 / 23 = 1 / 8 = 0,125.
Для отрицательного основания калькулятор принимает только целый показатель: (−2)3 = −8, а (−2)2 = 4. Комплексные числа не рассчитываются.
Частые вопросы
Как вычислить логарифм?
Выберите операцию «Логарифм», введите число и основание: калькулятор покажет натуральный (ln), десятичный (lg) и логарифм по вашему основанию. Например, log₂ 8 = 3. Для оснований 2, e и 10 есть быстрые кнопки; e выбирает точное основание натурального логарифма.
Чем натуральный логарифм отличается от десятичного?
Натуральный считается по основанию e ≈ 2,71828, десятичный — по основанию 10. Перевести один в другой можно по формуле ln x = lg x / lg e.
Как решать логарифмы с разными основаниями?
Приводите их к одному основанию формулой перехода: log_a b = log_c b / log_c a. Формулы приведены в разделе «Свойства логарифмов», а разбор перехода к другому основанию — в разделе «Примеры решения логарифмов».
Как округлить число до сотых?
Выберите «Округление», введите число и укажите 2 знака после запятой. Если первая отброшенная цифра 5 или больше, увеличьте последнюю сохраняемую цифру на 1. Для отрицательного числа применяйте это правило к его модулю. Например, 1,005 → 1,01; −1,005 → −1,01. Можно выбрать от 0 до 12 знаков.
Как рассчитать пропорцию?
Выберите «Пропорция» и введите три известных члена равенства a/b = c/x — калькулятор найдёт четвёртый. Пример: 3/4 = 6/x, откуда x = 8.