Свободный член c = 0
x² − 5x = 0
Выносим x за скобку: x(x − 5) = 0. Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю: x = 0 или x − 5 = 0.
Ответ: x₁ = 0, x₂ = 5.
Квадратное уравнение
Корни, дискриминант и решение по шагам.
Ответ
Дискриминант: D = 4
Два действительных корня
Решение по шагам
Дискриминант
Вычислим дискриминант по формуле D = b² − 4ac.
D = (−4)² − 4 · 1 · 3 = 4
Корни уравнения
D > 0: находим два корня по формуле x = (−b ± √D) / (2a).
x₁ =4 + 22= 3
x₂ =4 − 22= 1
Проверка по Виету
Проверим сумму и произведение найденных корней.
3 + 1 = 4 = −b/a
3 · 1 = 3 = c/a
Как пользоваться калькулятором
- Шаг 1.
Введите коэффициенты
Укажите a при x², b при x и свободный член c. Отрицательные числа и дроби с запятой или точкой допустимы; модуль каждого коэффициента — не больше миллиарда.
- Шаг 2.
Получите ответ
Ответ и уравнение обновляются при вводе. Ниже видны дискриминант, подстановка в формулу и проверка по Виету. При a = 0 калькулятор решает линейное уравнение.
- Шаг 3.
Сохраните решение
Нажмите «Копировать решение», чтобы сохранить исходное уравнение, ответ и все шаги. Приближённые числовые значения отмечены знаком ≈.
Как решать квадратные уравнения
Квадратное уравнение имеет вид ax² + bx + c = 0, где a, b и c — числа, а a ≠ 0. Его корни — значения x, при которых левая часть равна нулю.
Дискриминант
Для ax² + bx + c = 0 при a ≠ 0 дискриминант D = b² − 4ac. Если D > 0 — два корня, x = (−b ± √D) / (2a); D = 0 — один корень x = −b/(2a); D < 0 — действительных корней нет. Знак D подсказывает число действительных корней ещё до их вычисления.
Теорема Виета
Для ax² + bx + c = 0 при a ≠ 0 сумма корней x₁ + x₂ = −b/a, произведение x₁ · x₂ = c/a. Если a = 1, достаточно сравнить сумму с −b, а произведение — с c. При D = 0 в проверке один корень учитывают дважды.
Неполные уравнения
При a ≠ 0 и c = 0 вынесите x за скобку: x(ax + b) = 0. Корни — 0 и −b/a. При b = 0 получаем x² = −c/a: положительная правая часть даёт два противоположных корня, нулевая — один корень 0, отрицательная — ни одного действительного корня.
Если a = 0
Уравнение перестаёт быть квадратным: остаётся bx + c = 0. При b ≠ 0 его корень x = −c/b. Если b тоже равен нулю, при c = 0 подходит любое x, а при c ≠ 0 решений нет. Калькулятор различает эти случаи.
Примеры решения квадратных уравнений
Коэффициент b = 0
x² − 9 = 0
Переносим свободный член вправо: x² = 9. Извлекаем квадратный корень и учитываем оба знака: x = ±√9 = ±3.
Ответ: x₁ = −3, x₂ = 3.
Дискриминант D = 0
x² − 2x + 1 = 0
Считаем дискриминант: D = (−2)² − 4 · 1 · 1 = 0. Корни совпадают: x = −(−2)/(2 · 1) = 1.
Ответ: x = 1 — один корень.
Дискриминант D < 0
x² + 1 = 0
Получаем D = 0² − 4 · 1 · 1 = −4. Квадрат действительного числа не может равняться −1, поэтому действительных корней нет.
Комплексные корни: x₁ = −i, x₂ = i, где i² = −1.
Частые вопросы
Как решить квадратное уравнение через дискриминант?
При a ≠ 0 найдите D = b² − 4ac. Если D ≥ 0, действительные корни вычисляются по формуле x = (−b ± √D) / (2a). Калькулятор показывает оба шага с подстановкой ваших чисел — удобно перепроверить ручное решение.
Что делать, если дискриминант меньше нуля?
Действительных корней нет: график параболы не пересекает ось x. В школьном ответе так и пишут; калькулятор дополнительно показывает комплексные корни для интересующихся.
Как решить неполное уравнение?
В неполном квадратном уравнении a ≠ 0. При c = 0 вынесите x за скобку: x(ax + b) = 0, корни 0 и −b/a. При b = 0 получаем x² = −c/a. Если −c/a > 0, корни ±√(−c/a); если −c/a = 0, один корень x = 0; если −c/a < 0, действительных корней нет.
Что такое теорема Виета?
Для ax² + bx + c = 0 при a ≠ 0 теорема связывает корни и коэффициенты: x₁ + x₂ = −b/a, x₁ · x₂ = c/a. Так можно проверить ответ: сумма и произведение найденных корней должны совпасть с этими значениями. При D = 0 корень учитывают дважды.
Когда уравнение имеет один корень?
Квадратное уравнение при a ≠ 0 имеет один действительный корень, когда D = 0: оба корня совпадают, x = −b/(2a). Геометрически парабола касается оси x в своей вершине.